Implicaciones y equivalencias

Implicaciones

El símbolo "implica" ⇒ se usa de la siguiente manera y con el siguiente significado. Decir que A⇒ B (A implica B) significa que siempre que sea cierta la afirmación A, también lo es B. O sea, que si A es cierto, entonces, lo es B. Dicho de una tercera forma, si se verifica A, también se verificará B. Por ejemplo, "Si he pagado 1€ por el artículo C ⇒ Tengo 1€ menos". Esa afirmación es cierta.

Cuando A ⇒ B, B podría ser cierto aunque no lo fuese A. En el ejemplo, podría ser cierto que "tengo 1€ menos" porque he pagado 1€ por otro artículo distinto, o porque he perdido una moneda, sin que sea verdad que "he pagado 1€ por el artículo C".

Además, si es cierto que ⇒ B, entonces, si B es falso, A también será falso (puesto que si A fuese verdadero, como A ⇒ B, B también lo sería). En el ejemplo anterior, si no tengo 1€ menos, entonces no he pagado 1€ por el artículo C (si lo hubiera hecho, tendría 1€ menos, y no es así). Por tanto, cuando A ⇒ B se tiene que: sólo si B (lo que está en el extremo de la flecha) es cierto, puede serlo A.

Y más. A ⇒ B significa que el que se verifique A es condición suficiente para que sea cierto B. Y que B (lo que está en el extremo de la flecha) sea cierto, es condición necesaria para que lo sea A (recordar que si B es falso no puede ser cierto A)

En la práctica, se suele usar sólo la escritura A ⇒ B, que aclara más la dirección (si A es cierto, entonces lo es B) sin detenerse en pensar quien es necesario o suficiente.

Por otra parte, en ningún caso se puede utilizar el símbolo Þ (implica) en lugar de = (igual a). Decir que 4 + 2 ⇒ 6 significa que siempre que sea cierto 4 +2 lo será 6. Esa frase no tiene sentido, porque 4 + 2 no puede ser cierto ni falso. Y lo mismo ocurre con 6. Y, además, nada se dice de la relación del resultado de la operación 4 + 2 con el número 6.

 

Equivalencias

 B significa que "A es equivalente a B". Es decir, que A ⇒ B y que B ⇒ A. Por ello, a la equivalencia se le llama también doble implicación.Y por todo lo dicho antes, A y B son ciertas o falsas a la vez.

También, por todo lo anterior, A ⇒ B puede leerse como "si A es cierto, lo es B". Y B ⇒ A expresa que "sólo si A es cierto, puede serlo B". Por tanto, la equivalencia o doble implicación A ⇔ B se expresa a menudo con la frase: "A es cierto si, y sólo si lo es B".

También hemos dicho que A ⇒ B significa que A es suficiente para que se verifique B. Y que B ⇒ A significa que A es necesaria para que se verifique B. Es por ello que A ⇔ B también se suele expresar como "A es condición necesaria y suficiente para que se verifique B". O que "B es condición necesaria y suficiente para que lo sea A".

Por ejemplo, "dos rectas son perpendiculares si y sólo si se cortan formando 4 ángulos idénticos". Significa que "dos rectas son perpendiculares" ⇒ "se cortan formando 4 ángulos idénticos" (de 90º cada uno de ellos) y, a la vez, que "si dos rectas se cortan formando 4 ángulos idénticos" ⇒ "son perpendiculares" (porque los 4 ángulos medirían, cada uno de ellos, 360º/4 = 90º).

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