¿Hay infinitos mayores que otros?

Los animales pueden comunicarse entre ellos. Tienen algún sistema para intercambiar información. Como ejemplo, podemos pensar en el lenguaje de los delfines o en la famosa gorila Koko. También pueden razonar de alguna manera y tomar decisiones (como ejemplo, esto es lo que pudiera deducirse de éste vídeo donde un delfín razona que puede ser ayudado por humanos). La diferencia definitiva entre humanos y el resto de seres vivos podría estar en el razonamiento abstracto y particularmente en el concepto de infinito.

El infinito no es un número. Es un concepto abstracto que nos señala que la cantidad de elementos de un conjunto es mayor que cualquier número que podamos especificar. Lo representamos por el símbolo ∞. En Matemáticas manejamos asiduamente el concepto del infinito. Pero, ¿existe el infinito fuera de la mente humana? A Einstein le atribuyen (parece que falsamente) la frase siguiente: "Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y de lo primero, no estoy seguro".

El Universo está en continua expansión. Y lo hace desde su origen, en un punto inicial que lo contenía al completo y que estalló en el Big Bang. La edad del Universo se cifra en unos 13.700 millones de años. Como de la Teoría de la Relatividad de Einstein se deduce que la velocidad de la luz es la máxima posible en el vacío, la longitud máxima del Universo es de 13.700 millones de años luz. ¿Qué hay fuera del Universo? ¿Hay otros universos? Existen modelos que hablan, en efecto, de la existencia de otros universos, de modo que deberíamos hablar de Multiverso. Pero, como consecuencia, debería deducirse que, al menos, nuestro Universo no es infinito.

Sin embargo, como se ha dicho, en Matemáticas manejamos el infinito habitualmente. Y encontramos propiedades nada intuitivas en él. Si infinito es una cantidad ilimitada, todo conjunto infinito parece que debería tener el mismo número de elementos. Pues bien, en este texto vamos a profundizar un poco en esta idea para intentar responderla. Y una de las formas de hacerlo es comparando el número de elementos de los principales conjuntos numéricos.

En otro artículo hablamos de los conjuntos numéricos: N, Z, Q, I, R. Todos ellos tienen infinitos números. Vamos a compararlos entre sí, es decir, si en unos hay mayor cantidad de elementos que en otros (parece evidente que sí, pero veámoslo más despacio, que puede que nos llevemos alguna sorpresa).

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