Z es numerable

Recordemos que los números Naturales son todos los enteros positivos y sin decimales (lo que incluye al cero, que es el único número positivo y negativo a la vez: un número x es positivo si x ≥ 0, es positivo estrictamente si x > 0, es negativo si x ≤ 0, y es estrictamente negativo si x < 0). Es decir:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Hay infinitos números naturales (por muy grande que sea el número natural que imaginemos, sumándole 1 obtenemos un número, también natural, y mayor). Pero recordar que ∞ no es un número, ni natural ni de ningún otro tipo, como ya hemos comentado.

El conjunto de los números Enteros comprende a todos los números sin decimales, positivos o negativos. Por tanto:

Z = { ... 11, 10, 9, −8, ..., −2, 1, 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ...}

También tiene infinitos números, pero intuitivamente vemos que hay más enteros que naturales. Por ejemplo, −2 es entero, pero no natural. En realidad, hay casi el doble de enteros que de naturales, porque todos los enteros negativos no son números naturales. En cambio, todos los números naturales son enteros (N está incluido en Z). Sin embargo, vamos a ver que en ambos conjuntos hay exactamente el mismo número de elementos.

Dos conjuntos tales que cada elemento del primero de ellos se puede emparejar con uno, y sólo un elemento del segundo, y al revés, de forma que no sobre ningún elemento sin emparejar en ninguno de los dos conjuntos, tienen el mismo número de elementos. Pues bien, esto ocurre entre N y Z. Basta emparejarlos así (reordenando Z):

N:   0,   1,  2,   3,  4,    5,  6,   7,  8,   9, 10, 11, ...
Z:   0, 1,  1, −2,  2, −3,  3, −4,  4, −5,  5, −6, ... 

De esta forma hay un primer entero, un segundo, etc. O sea, tantos enteros como naturales, y tantos naturales como enteros. Por tanto, la cantidad infinita de enteros es la misma que la cantidad infinita de números naturales, y esto a pesar de que hay infinitos enteros que no son naturales (esto es lo que choca con nuestra intuición, con lo que nos parecería esperar).

Cuando en un conjunto hay exactamente el mismo número de elementos que en N (en el sentido de que pueden emparejarse de forma biunívoca) se dice que tiene un número infinito numerable de elementos. Por consiguiente, Z es numerable.

Veamos ahora qué sucede con Q (los números racionales).

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