Q es numerable

Si bien  Z  nos ha podido sorprender de alguna manera, el caso de  Q  es más llamativo aún. Q  es el conjunto de los números Racionales. Se llama así porque son todos los números que pueden expresarse en forma de fracción (razón, división). Y una fracción es una pareja ordenada de números enteros, siendo el primero de ellos el numerador y el segundo, el denominador. El significado de una fracción  a/b  es que cada unidad se divide en  b  partes iguales y se toman  a  trozos de ese tamaño. Por tanto,  b ≠ 0, porque no puede dividirse la unidad en  0  trozos (no podemos dividir entre  0  y, en consecuencia,  0 no puede ser denominador de una fracción). Hay infinitas fracciones que son iguales entre sí y son, por tanto, el mismo número racional. Por ejemplo,  1/2 = 2/4 = 3/6 = ... Todas esas fracciones son la misma cantidad, el mismo número racional (0.5, si queremos).

Todos los números Naturales son Enteros, como ya vimos. Y todos los Enteros son Racionales, porque se pueden escribir como fracción con denominador  1. Esto implica que  0  también es racional, pues se puede escribir como  0/1  (que resulta  0:  0 caramelos repartidos entre  1  niño resulta a  0   caramelos por niño).

Pero hay muchísimos más números racionales que enteros: Q es denso en R, lo que significa que entre cualquier pareja de números Reales (que son todos los números que pueden resultar de una medida), por cercanos que estén, podemos encontrar infinitos números racionales. Esto nos da una idea de la enorme cantidad de números Racionales que existen. Si bien probar esto no es del todo inmediato, podemos conformarnos con demostrar que entre dos números Racionales cualesquiera existen infinitos números Racionales. Y esto es fácil: si sumamos dicha pareja de números Racionales (o sea, una pareja de fracciones), obtendremos otro número Racional (otra fracción). Al dividir dicha fracción entre  2, resulta, tras simplificar, una nueva fracción, es decir, un nuevo número Racional. Pero al sumar dos números y dividir el resultado entre  2  lo que se obtiene es la media aritmética de ambos, que está justo en la mitad de dichos números. Es decir, hemos encontrado un número racional entre los dos números de partida. Si repetimos el proceso con el más pequeño de ellos y la media aritmética que acabamos de calcular, obtendremos otro número racional, justo en la mitad entre ambos. Y este proceso puede repetirse indefinidamente, por lo que encontramos infinitos números Racionales entre los dos números Racionales inicialmente elegidos.

Esta propiedad no se da ni en  N  ni en  Z: entre 2 y 3, por ejemplo, no hay ningún número ni natural ni entero. En cambio, hay infinitos números racionales entre ellos. Pues bien, a pesar de la enorme diferencia, hay exactamente la misma cantidad de números racionales que de números naturales. Es decir, el infinito que corresponde a la cantidad de números racionales es equiparable al infinito correspondiente a la cantidad de números naturales. O sea, que la cantidad de números racionales es un infinito numerable.

Vamos a demostrar que Q es numerable. Para ello, tomamos un sistema de ejes cartesianos. En el eje  OX  vamos a representar el numerador (tenemos que limitarnos a los valores enteros del eje, porque tanto el numerador como el denominador de una fracción son números enteros; de lo contrario, no tendríamos una fracción, sino una división de números reales). En el eje  OY  representaremos el denominador, restringiéndonos, igualmente, a las unidades enteras. Así, cada cruce de un valor entero del eje  OX  con otro del eje  OY  representa una fracción: el punto  (ab) sería la fracción  a/b. Ningún cruce sobre el eje  OX  sería fracción, porque tendrían denominador 0. En el gráfico siguiente hemos señalado, como ejemplo,  1/2  y −3/(−2). De esta manera, todos los puntos señalados del gráfico representan todas las fracciones posibles.

Lo que hacemos es ordenarlas. Y para ello, basta recorrerlas de la manera señalada por las flechas rojas del gráfico. De este modo, asociamos el número natural  0  con la fracción representada por el origen de coordenadas, el  1  con la fracción  0/(−1), el  2  con la fracción 1/(-1), el  3  con la fracción  1/1, el  4  con   0/1, el  5  con  −1/1, etc:

Q numerable

Por tanto, hay exactamente la misma cantidad de fracciones que de números naturales. Como muchas fracciones representan al mismo número racional (1/2 = 2/4 = 3/6 = ...) hay muchos números naturales asociados al mismo número natural. Luego la cantidad de números naturales es mayor o igual que la de racionales. Pero como, por otro lado, sabemos que la cantidad de números racionales es mayor o igual que la naturales, porque hay números racionales que no son naturales (por ejemplo, 1/2). Luego la cantidad de números racionales es igual a la de números naturales. Es decir, la cantidad de números racionales es un infinito numerable, como queríamos demostrar.

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