¿Cuántos números irracionales hay?

Después de haber visto que hay la misma cantidad de números naturales que de enteros y, a su vez, que de racionales, podemos sospechar que todos los infinitos son equiparables, y que no hay infinitos mayores que otros. Pero no saquemos conclusiones sin estudiar antes los números irracionales.

Los números irracionales, a cuyo conjunto se le designa por I, son todos aquellos que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto, un número real es racional (se puede expresar como fracción) o irracional (no se puede). Pero ningún número es racional e irracional a la vez.

Si consideramos una fracción, al dividir numerador entre denominador encontramos la forma decimal de un número racional. Por ejemplo,  1/2 = 0.5. La expresión decimal de un número racional sólo puede ser finita (tiene un número no infinito de decimales) o periódica (tiene infinitos decimales pero, a partir de una determinada posición, un grupo de cifras se repite continuamente hasta el infinito, siempre las mismas y en el mismo orden). Por tanto, si no ocurre ninguna de las dos cosas el número no es racional, sino irracional: los números irracionales tienen infinitos decimales y no periódicos.

Hay muchos más números irracionales que racionales. Si escribimos un cero, la coma decimal y añadimos cifras de  0  al  9  de forma infinita y al azar, siempre va a salir un número infinito no periódico (salvo que hiciésemos trampa y, entonces, no sería al azar). Es decir, que formando un número al azar siempre va a salir irracional: la probabilidad de elegir un número al azar y que sea irracional es del 100%. Nunca va a salir racional.

Esto puede hacernos sospechar lo que sucede y es que, esta vez, no vamos a poder equiparar el infinito de los naturales, enteros y racionales con el de los irracionales. Así, vamos a demostrar que I es no numerable. Lo haremos por el método de reducción al absurdo: vamos a suponer que es cierto lo contrario de lo que pretendemos probar y ello nos conducirá a una contradicción, con lo cuál es imposible la suposición.

Supongamos que I es numerable. Por tanto, podemos ordenarlo de forma que haya un primer número, que asociaremos con el número natural  0, un segundo con el  1, un tercero con el  2, y así hasta el infinito. Vamos a limitarnos al intervalo (0,1). Supongamos que la ordenación obtenida fuese la siguiente, por ejemplo:

0.87313310956...
0.39344836770...
0.43178302403...
0.21019364334...
0.87903914632...
0.17245274095...
0.35448107620...
......

El primero de estos números está asociado de forma única al  0, el segundo al  1, etc. Y en la lista anterior deben estar todos los irracionales entre  0  y  1. Pues bien, construimos un nuevo número irracional entre  0  y  1  tomando las cifras destacadas de cada uno de dichos números aumentando, cada una, en  1:

0.9022439...

Pero este número no está en la lista anterior: no coincide con el primero, porque la primera cifra es una unidad más; tampoco con el segundo por la misma razón (cuando la cifra ha sido  9  la hemos cambiado por  0). Y así hasta el infinito. Por tanto, en la lista anterior no están todos los irracionales entre  0  y  1. Y ésta es la contradicción. Por ello, no puede suponerse que  I  sea numerable. Luego  I  es no numerable.

Por tanto, finalmente hay infinitos mayores que otros. Como  R  es la unión de  Q  con  I, también  R  tiene un número infinito no numerable de elementos.

Anterior          Siguiente

GTranslate

esenfrdeitptru